黎曼猜想爲什麼危險 猜想危險在什麼地方
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都在等待“黎曼猜想”證明
卻不知道它後面隱藏的危險
一、大神黎曼
過直線外一點,可作其幾條平行線?
歐氏幾何說,只能作一條;
羅氏幾何說,至少可以作兩條(包括一組和無數)。
黎曼慢悠悠地反問:誰知道平行線相交還是不相交呢?
“平行線公理”的世紀之爭,最終終結於黎曼。
黎曼提出:過直線外一點,一條平行線也作不出來。(這是人話嗎?)
可基於黎曼幾何得出的“無平行線”結論,最終成了廣義相對論的數學幫手。
廣義相對論最初源於愛因斯坦意識到引力並不是一種力,而是時空幾何彎曲的體現。
物理直覺超於常人的愛因斯坦一直找不到數學工具來表達他的想法,如果沒有數學支撐,直接說引力是時空彎曲效應,肯定會被吐槽成“物理是體育老師教的”。
所以,直到他從數學界朋友瞭解到黎曼的“非歐幾何”,才讓廣義相對論提早問世。當愛因斯坦得意地跟全世界說:如果沒有我,50年內也不會出現廣義相對論。
這時候,能和愛因斯坦站在一起吹牛的,也只有數學大神黎曼了。
二、黎曼猜想與裸奔的互聯網
“幾何”一直是黎曼的主業,這又是一座深不可測的數學殿堂。
但今天聊的不是他的主業,而是他在1859年“閒暇之餘”隨手丟下的一個猜想。
這個猜想說的是:存在一個對素數分佈規律有着決定性影響的黎曼ζ函數①非平凡零點②。
關於這些點,容易證明它們都分佈在一個帶狀區域上,黎曼認爲它們的分佈要比這個容易證明的結果齊整得多,他猜測它們全都位於該帶狀區域正中央的一條直線上。而這條被猜測爲包含黎曼ζ函數所有非平凡零點的直線則被稱爲臨界線。就這樣,黎曼猜想正式被提出。
講人話,我們來看黎曼猜想到底長什麼樣紙!
首先定義一個函數叫黎曼函數:
ζ(s)= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……
黎曼猜想指的是:黎曼函數所有非平凡零點的實部都是1/2。更通俗的數學表達式如下:
ζ(s)= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直線x=1/2上。
怎麼樣!看懂了吧,如果還有疑問……那我也沒輒了,我的智商有限。
黎曼自己肯定沒有想到,他所提出的這個猜想,足足折騰了數學家們159年。
如果黎曼知道直到2018年我們還在糾結,一定會花點時間把證明寫出來的。
這件事情還得怪他的老師高斯,高斯的座右銘是“寧肯少些,但要成熟”的低調作風,這一點影響到黎曼,讓他成爲一個惜字如金的大神。
他一生僅發表過10篇論文,但每篇論文都橫跨各領域,是多領域的先鋒開拓者,雖然不到40歲就去世,但仍然顯示出不可一世的才華。
1859年黎曼拋出的這個不朽謎題,就是想解決素數之祕。
一旦素數之祕被解開,那麼現在幾乎所有互聯網的加密方式將不再安全,變成一個裸奔的世界,因爲我們主要的非對稱加密包括RSA密鑰加密等等,都是基於大數的分解。
不僅僅是互聯網,只要證明方法被公佈,無需量子計算機,根據其原理甚至能破解現代銀行的安全密碼體系,看你還開心不開心!
三、非對稱加密算法和素數的關係
那些擔心自己的錢包和黎曼猜想的朋友們,我們再複習一下小學數學:
小於20的素數有多少個?答案是有8個:2、3、5、7、11、13、17和19。小於1000的素數有多少個?小於100萬呢?小於10億的呢?
觀察素數表,你會發現素數數目是下降的,它們越來越稀疏。1和100之間有25個素數,401和500之間有17個,而901和1000之間只有14個。如果把素數列到100萬,最後一個百數段(就是從999901到1000000)中只有8個素數。如果列到10 000億,最後一個百數段中將只有4個素數。它們是,999 999 999 937,999 999 999 959 ,999 999 999 961,999 999 999 989。
越到後面,素數的尋找越發艱難。
這樣,聰明的數學家們將素數應用在密碼學上,因爲人類還沒有發現素數的規律,以它作密鑰進行加密的話,破解者必須要進行大量運算,即使用最快的電子計算機,也會因求素數的過程時間太長而失去了破解的意義。
現在普遍使用於各大銀行的是RSA公鑰加密算法 ,基於一個十分簡單的素數事實:將兩個大質數相乘十分容易,但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難,因此可以將乘積公開作爲加密密鑰。
黎曼猜想得到完全證明,很有可能派生出攻擊RSA公鑰加密算法的規律。
一旦黎曼猜想得證,那麼基於大素數分解的非對稱加密算法可能就走到了盡頭,私鑰加密、簽名也就失去了意義。
當我們在爲數學家開心的時候,也得小心那些尋找漏洞的黑客。
四、黎曼ζ函數證明和量子幽靈有關嗎?
黎曼猜想的證明有那麼難嗎?在這裏我不列出這些證明細節,只看看一路坎坷的證明歷程:
1、1896年,法國的哈達瑪抵達猜想的三八臨界線邊緣——證明了黎曼ζ函數的非平凡零點只分布在帶狀區域的內部,並順手幹掉了刁難人類一百年的素數定理。
2、1914年,丹麥的玻爾與德國的蘭道觸到了冰山一角,窺得了黎曼ζ函數的非平凡零點傾向於“緊密團結”在臨界線的周圍。
3、英國的哈代副武裝模式開啓,直接將“紅旗”插上了臨界線——證明了黎曼ζ函數有無窮多個非平凡零點位於臨界線上。
4、1989年美國的康瑞又推翻了列文森的推論,重新開啓了估算的新篇章,又證明了至少有40%的零點位於臨界線上。
……
然而誰也沒能真正搞定黎曼猜想,數學上“無窮大”這隻惡魔讓再多數值證據都微不足道。
沒想到,有幸之年,我竟能親身見證黎曼猜想被證明,若爲真,實深感榮焉。
就在最近,2018年9月20日,菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾o阿蒂亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想,要在9月24日海德堡獲獎者論壇上向全世界公佈證明。
一聽這消息,躲在深山老林的科學家們全炸了。
黎曼猜想這次真的會被解決嗎?作爲數學獎最高得主,阿蒂亞爵士的確是這個時代頂尖數學家之一,但他都89歲了,會不會只是出來玩票……
另外,阿蒂亞爵士還有點“囂張”地聲稱證明並不複雜(畢竟這猜想還是苦了人類159年),是基於之前馮諾依曼、希策布魯赫、狄拉克的工作。
馮o諾依曼,計算機之父,以研究算子理論、量子理論聞名遐邇。
希策布魯赫,恕我孤陋寡聞,不知道他是幹嘛的。
狄拉克,預言了反物質的那個傢伙,量子力學頂樑柱人物之一。
一看,除去那個我不太熟悉的,此次證明恐與量子力學有着千絲萬縷的關係。
自20世紀以來,已有部分科學家注意到素數與量子物理之間存在聯繫。
黎曼猜想中的素數行爲,酷似量子力學中的“測不準原理”,雖然你可能不知道單個分子確切位置,但是你可以確定這個房間大致的分子分佈,素數這難以捉摸的行爲特別像量子幽靈掌握的微觀世界。
阿蒂亞若是藉助量子力學這一工具來解決黎曼猜想也不是不可能。畢竟,數學中很多重大問題,都是建立在與其他數學分支跨界聯繫的基礎上才被解決,比如費馬大定理。
而由量子理論所衍生而出的量子計算機,也早已被數學家證明能快速對大數進行質因數分解,基於“平行世界”的運算可輕而易舉破解素數並顛覆密碼系統。
量子力學與素數的戀情,也許將在這一次揭開情人面紗。
五、猜想將動搖數學大廈嗎?
各大行長躲在銀行保險櫃前瑟瑟發抖,不少黑客則潛伏敲着鍵盤蓄勢待發。
一旦證明方法得證無誤,密碼夾持着的無盡祕密有多少會不復存在。
然而,黎曼猜想帶來的危險不僅僅影響銀行,更不僅僅是互聯網,甚至可能動搖到一些數學根基。
數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想的成立爲前提。如果黎曼猜想被證明,所有那些數學命題就全都可以榮升爲定理;反之,如果黎曼猜想被否證,則那些數學命題中起碼有一部分將成爲陪葬品。
那些建立在黎曼猜想上的推論,可謂是一座根基不穩、搖搖欲墜、令人惶恐不安的大廈。
一個數學猜想與爲數如此衆多的數學命題有着密切關聯,這是世上極爲罕有的,也許正是因爲這樣的關係,黎曼猜想的名氣和光環變得更加顯著,也越發讓人着迷。
因而,此次黎曼猜想是否成功證明,將牽一髮而動全身,直接影響以黎曼猜想作爲前提的數學體系。
六、危險的數學和逝去的“愛神”
伯恩哈德o黎曼於1866年7月20日去世,離開這個世界時還不到40歲。
天妒英才,這位與歐拉、高斯、伽羅瓦一樣在數學上具有頂尖天賦的人物,可能因爲其才華帶來巨大危險,很快就被上帝喚回去打麻將了。
他並沒有意識到自己對這個世界的影響會如此深遠,臨走之前非常安寧,沒有掙扎也沒有臨終痙攣,彷彿饒有興趣地觀看靈魂與肉體的分離。
《素數之戀》一書談到:他妻子給他拿來麪包和酒,他要她把他的問候帶給家裏人,並對她說:“親親我們的孩子”。她爲他誦讀了主禱文,他的眼睛虔誠地向上仰望,幾次喘息以後,他純潔而高尚的心臟停止了跳動。
他長眠在塞拉斯加教區比甘佐羅教堂的院子裏,墓碑上的碑文是:
這裏安息着
格奧爾格o弗裏德里克o伯恩哈德o黎曼
哥延根大學教授
生於1826年9月17日,佈雷斯倫茨
卒於1866年7月20日,塞拉斯加
萬事都互相效力
叫愛神的人得益處
註釋:
①ζ函數:(ζ-function)用來刻畫系統週期點性態的函數。
②零點:設是定義在數域k上的函數,我們把方程f=0在數域k中的解稱作f(在k中)的零點,所有零點構成的集合稱作零點集。
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